Question

16．已知函数$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+φ}）（{-π＜φ＜0}）$图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$且f（0）＜0，
（1）求φ；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$且f（0）＜0，求解φ．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（3）x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+φ}）（{-π＜φ＜0}）$，
（1）∵x=$\frac{π}{8}$是一条对称轴，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}+kπ$，
又∵f（0）＜0，
∴sinφ＜0，
当k=-1时，可得φ=$-\frac{3π}{4}$．
（2）由（1）可知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{3π}{4}$）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{3π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
得$\frac{5π}{8}+kπ≤$x$≤\frac{9π}{8}+kπ$
∴f（x）的单调递减区间为[$\frac{5π}{8}+kπ$，$\frac{9π}{8}+kπ$]k∈Z
（3））∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$上时，可得2x-$\frac{3π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]
当2x-$\frac{3π}{4}$=$-\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为$-\sqrt{2}$．
当2x-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最大值为1．
∴f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域为[$-\sqrt{2}$，1]．

点评 本题主要考查对三角函数的图象和性质的运用，利用条件确定f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．