Question

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求sinB的值；
（2）若$b=\sqrt{7}$，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA，由sinA≠0，可求cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．
（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求${（a+c）^2}-7=3ac≤3{（\frac{a+c}{2}）^2}$，解得$a+c≤2\sqrt{7}$，即可得解△ABC的周长的最大值．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由正弦定理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
 所以：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
因为sinA≠0，
 所以cosB=$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（6分）
（2）因为b²=a²+c²-2accosBb²=（a+c）²-3ac=7，
所以${（a+c）^2}-7=3ac≤3{（\frac{a+c}{2}）^2}$，…（10分）
所以$a+c≤2\sqrt{7}$，
故$2\sqrt{7}$＜$a+b+c≤3\sqrt{7}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．