题目内容
如图，在直四棱ABCD-A1B1C1D1中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA1=2| 3 |
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）求出平面RQC的法向量和平面QCB的法向量，由此能求出二面角R-QC-B的余弦值．
（Ⅱ）求出平面RQC的法向量和平面QCB的法向量，由此能求出二面角R-QC-B的余弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得Q（0，0，0），P（0，0，2
），
B（0，2
，0），R（0，
，
），
C（-4，2
，0），
=（0，
，
），
=（0，2
，-2
），
=（-4，2
，-2
），
∴
•
=0，
•
=0，
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：
=（0，
，
），
=（-4，2
，0），
设平面RQC的法向量
=（x，y，z），
则
，
取y=-2
，得
=（3，-2
，2
），
又平面QCB的法向量
=（0，0，1），
∴cos＜
，
＞=
=
．
∴二面角R-QC-B的余弦值为
．
建立空间直角坐标系，
由题意得Q（0，0，0），P（0，0，2
| 3 |
B（0，2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
C（-4，2
| 3 |
| QR |
| 3 |
| 3 |
| PB |
| 3 |
| 3 |
| PC |
| 3 |
| 3 |
∴
| QR |
| PB |
| QR |
| PC |
∴QR⊥PB，QR⊥PC，又PB∩PC=P，
∴QR⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：
| QR |
| 3 |
| 3 |
| QC |
| 3 |
设平面RQC的法向量
| n |
则
|
取y=-2
| 3 |
| n |
| 3 |
| 3 |
又平面QCB的法向量
| m |
∴cos＜
| n |
| m |
2
| ||
|
2
| ||
| 11 |
∴二面角R-QC-B的余弦值为
2
| ||
| 11 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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