Question

（1）已知x∈（0，π），求y=sinx+

2

sinx

的最小值？
（2）若a，b为正实数，且ab-（a+b）=8，求a+b的最小值？

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）令sinx=t，则t∈（0，1]，由函数y=t+

2

t

在t∈（0，1]上单调递减，可得结论；
（2）变形可得a+b=ab-8≤(

a+b

2

)2-8，令t=a+b，上式变形为 t²-4t-32≥0，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
令sinx=t，则t∈（0，1]，
∵函数y=t+

2

t

在t∈（0，1]上单调递减，
∴当t=1即sinx=1时，y=sinx+

2

sinx

取最小值3；
（2）∵a，b为正实数，且ab-（a+b）=8，
∴a+b=ab-8≤(

a+b

2

)2-8
令t=a+b，上式变形为 t²-4t-32≥0，
解得t≥8，或t≤-4（舍去）
即a+b≥8，当且仅当a=b=4时等号成立
∴a+b的最小值为8

点评：本题考查基本不等式，涉及函数的单调性，注意基本不等式等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．