Question

若函数f（x）=4^x-k•2^x+k+3有唯一零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：设t=2^x，则t＞0，将函数f（x）转化为y=g（t）=t²-k•t+k+3，利用二次函数的图象和性质进行求解即可．

解答： 解：设t=2^x，则t＞0，
则函数f（x）等价为y=g（t）=t²-k•t+k+3，在t＞0时有唯一零点，
若△=0时，有对称轴x=-

-k

2

=

k

2

＞0，
即

△=k2-4(k+3)=0 k 2 ＞0

，
∴

k=-2或k=6 k＞0

，解得k=6．
若△＞0，即k＞6或k＜-2时，
满足g（0）＜0，
即g（0）=k+3＜0，
解得k＜-3，
此时k＜-3．
综上：实数k的取值范围是（-∞，-3）∪{6}．
故答案为：（-∞，-3）∪{6}．

点评：本题主要考查函数零点的应用，利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数是解决本题的关键．