已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点为F1.F2.其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.又抛物线x2=4y在点P(2.1)处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．(1)求椭圆C的方程,斜率为k的直线l交椭圆C于A.B两点.直线AF1.BF1的斜率分别为k1.k2.是否存在常数λ.使得k1k+k2k=λk1k2?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点为F₁，F₂，其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又抛物线x²=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（-4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF₁，BF₁的斜率分别为k₁，k₂，是否存在常数λ，使得k₁k+k₂k=λk₁k₂？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）推导出抛物线过x轴上（1，0）点，从而c=1，再由离心率能求出$a=\sqrt{2}，b=1$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设l的方程为y=k（x+4），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+16{k^2}x+32{k^2}-2=0$，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出常数$λ=\frac{2}{7}$．

解答（1）∵抛物线x²=4y在点P（2，1）处的切线方程为y=x-1，
∴它过x轴上（1，0）点，
∴椭圆C的一个焦点为（1，0）即c=1
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$a=\sqrt{2}，b=1$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程为y=k（x+4），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.⇒（1+2{k^2}）{x^2}+16{k^2}x+32{k^2}-2=0$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^2}}}{{1+2{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{32{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$，∵${F_1}（-1，0），{k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}，{k_2}=\frac{y_2}{{{x_2}+1}}$，
∴$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{{{x_1}+1}}{y_1}+\frac{{{x_2}+1}}{y_2}=\frac{1}{k}（\frac{{{x_1}+1}}{{{x_1}+4}}+\frac{{{x_2}+1}}{{{x_2}+4}}）$，
∴$\frac{k}{{k_1^{\;}}}+\frac{k}{k_2}=\frac{{2{x_1}{x_2}+5（{x_1}+{x_2}）+8}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}=\frac{2}{7}$，
∴${k_1}k+{k_2}k=\frac{2}{7}{k_1}{k_2}$，
∴存在常数$λ=\frac{2}{7}$．