Question

10．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）=x²-x，当x＞0时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）即$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$恒成立，令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-a，
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②若a＞0，当x∈（-∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，lna）上单调递减；
当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
（2）当x＞0时，f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-ax-1≥x²-x，
即$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$恒成立．
令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$（x＞0），则$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）-{x^2}+1}}{x^2}$．
令φ（x）=e^x（x-1）-x²+1（x＞0），则φ'（x）=x（e^x-2）．
当x∈（0，ln2）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（ln2，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
又x＞0且x→0时，φ（x）→0，φ（1）=0，
所以，当x∈（0，1）时，φ（x）＜0，即h'（x）＜0，所以h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，φ（x）＞0，即h'（x）＞0，所以h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=e-1，所以a∈（-∞，e-1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．