Question

2．某工厂每日生产某种产品x（x≥1）吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当1≤x≤20时，每日的销售额y（单位：万元）与当日的产量x满足y=alnx+b，当日产量超过20吨时，销售额只能保持日产量20吨时的状况．已知日产量为2吨时销售额为4.5万元，日产量为4吨时销售额为8万元．
（1）把每日销售额y表示为日产量x的函数；
（2）若每日的生产成本$c（x）=\frac{1}{2}x+1$（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．（注：计算时取ln2=0.7，ln5=1.6）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程，求出a，b，然后求出函数的解析式．
（2）当日产量为x吨时，每日利润为l（x），推出$l（x）=y-c（x）=\left\{\begin{array}{l}5lnx-\frac{1}{2}x，1≤x≤20\\ 15-\frac{1}{2}x，x＞20\end{array}\right.$，①若1≤x≤20，利用函数的导数求出最大值；②若x＞20，利用函数的单调性求出最大值．

解答 解：（1）因为x=2时，y=4.5，所以0.7a+b=4.5①，
当x=4时，y=8，所以1.4a+b=8②，
由①②解得a=5，b=1，所以当1≤x≤20时，y=5lnx+1．…（4分）
当x=20时，y=ln20+1=5×（2ln2+ln5）+1=5×（1.4+1.6）+1=16．
所以$y=\left\{\begin{array}{l}5lnx+1，1≤x≤20\\ 16，x＞20\end{array}\right.$．…（6分）
（2）当日产量为x吨时，每日利润为l（x），则$l（x）=y-c（x）=\left\{\begin{array}{l}5lnx-\frac{1}{2}x，1≤x≤20\\ 15-\frac{1}{2}x，x＞20\end{array}\right.$．…（8分）
①若1≤x≤20，则${l^'}（x）=\frac{5}{x}-\frac{1}{2}=\frac{10-x}{2x}$，
当1≤x＜10时l′（x）＞0；当10＜x≤20时，l′（x）＜0，
故x=10是函数在[1，20]内唯一的极大值点，也是最大值点，
所以$l{（x）_{max}}=l（10）=5ln10-\frac{1}{2}×10=6.5$万元．…（11分）
②若x＞20，则$l（x）=15-\frac{1}{2}x$，显然$l（x）=15-\frac{1}{2}x$单调递减，故l（x）＜5．
结合①②可知，当日产量为10吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为6.5万元．…（12分）

点评 本题考查函数与方程的实际应用，函数的导数的应用，最大值的求法，考查分段函数以及分类讨论思想的应用．