Question

20．如图所示的正数数阵中，第一横行是公差为d的等差数列，奇数列均是公比为q₁等比数列，偶数列均是公比为q₂等比数列，已知a_1，1=1，a_1，4=7，a_4，1=$\frac{1}{8}$，a_2，4=2（a_1，1+a_2，2）则下列结论中不正确的是（　　）

• A． d+q₁+q₂=a_2，5
• B． a_2，1+a_2，3+a_2，5+…+a_2，21=$\frac{441}{2}$
• C． a_1，2+a_3，2+a_5，2+…+a_21，2=4¹¹-1
• D． a_i，j=$\left\{\begin{array}{l}（2j-1）{2^{1-i}}，j为正奇数\\（2j-1）{2^{i-1}}，j为正偶数\end{array}$

Answer 1

分析 由a_1，1=1，a_1，4=7，运用等差数列的通项公式可得d=2，a_4，1=$\frac{1}{8}$，可得q₁=$\frac{1}{2}$，由a_2，4=2（a_1，1+a_2，2），运用等比数列的通项公式解得q₂=2，对选项一一加以判断，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式可得A，C，D正确；B不正确．

解答 解：由a_1，1=1，a_1，4=7，可得
a_1，4=a_1，1+3d，即有d=$\frac{7-1}{3}$=2，
即有a_1，n=2n-1，
a_4，1=$\frac{1}{8}$，即为a_1，1•q₁³=$\frac{1}{8}$，
解得q₁=$\frac{1}{2}$，
a_2，2=a_1，2•q₂=3q₂，
a_2，4=a_1，4•q₂=7q₂，
由a_2，4=2（a_1，1+a_2，2），可得
7q₂=2（1+3q₂），解得q₂=2，
对于A，d+q₁+q₂=2+$\frac{1}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，a_2，5=a_1，5•$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故A正确；
对于B，a_2，1+a_2，3+a_2，5+…+a_2，21=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$+$\frac{9}{2}$+…+$\frac{41}{2}$
=$\frac{1}{2}$×11+$\frac{11×10}{2}$×2=$\frac{231}{2}$，故B不正确；
对于C，a_1，2+a_3，2+a_5，2+…+a_21，2=3+12+…+3•4¹⁰
=$\frac{3（1-{4}^{11}）}{1-4}$=4¹¹-1，故C正确；
对于D，当j为正奇数时，a_i，j=（2j-1）a_1，1•（$\frac{1}{2}$）^j-1=（2j-1）•2^1-j；
当j为正偶数时，a_i，j=（2j-1）a_1，1•（2）^j-1=（2j-1）•2^j-1；
故D正确．
故选：B．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．