Question

11．设函数f（x）=$\frac{2-a}{2}$x²+ax-2lnx（a∈R）
（I）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞4时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（4，6）及任意x₁，x₂∈[1，2]，ma+2ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数m 的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f （x）的极值；
（Ⅱ）求导函数，并分解，利用f′（x）＜0，确定函数单调减区间；f′（x）＞0，确定函数的单调增区间；
（Ⅲ）确定f（x）在[1，2]上单调递减，可得f（x）的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得，从而可求实数m的取值范围

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值；
（Ⅱ）f′（x）=（2-a）x+a-$\frac{2}{x}$=$\frac{（2-a）{x}^{2}+ax-2}{x}$=$\frac{（2-a）（x-\frac{2}{a-2}）（x-1）}{x}$，
∵a＞4，∴$\frac{2}{a-2}$＜1，令f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a-2}$或x＞1，函数单调递减，
令f′（x）＜0，得$\frac{2}{a-2}$＜x＜1，函数单调递增，
故当a＞4时，f（x）在 （0，$\frac{2}{a-2}$），（1+∞）单调递减，在（$\frac{2}{a-2}$，1）上单调递增，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（4，6）时，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值，
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2）=$\frac{a}{2}$-3+2ln2，
∴ma+2ln2＞$\frac{a}{2}$-3+2ln2，
∵a＞0，
∴m＞$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{a}$，
∵4＜a＜6，
∴-$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{a}$＜0，
∴m≥0
故实数m的取值范围[0，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．