Question

5．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+3成立，且f（1）=1，则f（2015）+f（2016）=2015．

Answer 1

分析 根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（-3）+f（3）=0，f（x）+3=f（x+6），函数值呈等差数列关系，进而求出结果．

解答 解：奇函数f（x），∴f（0）=0，
f（x）对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+3成立，f（6）=f（0）+3，
f（12）=f（6）+3=f（0）+3×2，
f（18）=f（12）+3=f（0）+3×3，
…
f（2016）=f（336×6+0）=336×3=1008
f（2015）=f（336×6-1）=336×3+f（-1）=1008-1=1007
∴f（2015）+f（2016）=2015．
故答案为：2015．

点评 考查了奇函数的性质和函数形状的应用，属于常规题型，应熟练掌握．