Question

已知函数f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的方程f（x）=log_a

1

x

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

=log_a

x2-1+1

1-(x2-1)

，从而得f(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1），再判断f（-x）与f（x）的关系即可；
（2）方程f（x）=log_a

1

x

可化为

1+x

1-x

•x=1；从而解得．

解答： 解：（1）∵f（x²-1）=log_a

x2

2-x2

=log_a

x2-1+1

1-(x2-1)

，
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1），
又∵f（-x）+f(x)=loga

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=0；
则f（x）是奇函数；
（2）方程f（x）=log_a

1

x

可化为

1+x

1-x

•x=1；
解得，x=

2

-1．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了方程的解法，属于基础题．