Question

已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AB的中点，AC∩BD=O，点P是平面ABCD外一点，PA=PC，PB=PD，BD⊥EO．
求证：（Ⅰ）EO∥平面PBC．
（Ⅱ）BC⊥平面PBD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用平行四边形的性质以及中位线的性质得到EO∥BC，利用线面平行的判定定理可证；
（Ⅱ）要证BC⊥平面PBD，只要证明BC与平面PBD内的两条相交直线垂直，由已知可证BC⊥BD，PO⊥BC．

解答： 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是线段AC和BD的中点．…（1分）
∵点E是线段AB中点，
∴EO∥BC．…（2分）
∵EO?平面PBC，
∴EO∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）∵BD⊥EO，EO∥BC，
∴BC⊥BD．…（5分）
∵PA=PC，PB=PD，O是线段AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD．…（7分）
又BD∩AC=O，BD?平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．…（9分）
∵BC?平面ABCD，
∴PO⊥BC．…（10分）
∵PO⊥BD=O，BD?平面PBD，PO?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD．…（12分）

点评：本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练掌握定理，正确运用．