Question

5．设函数f（x）=|x²-2x-1|，若m＞n＞1，且f（m）=f（n），则mn的取值范围为（　　）

• A． $（{3，3+2\sqrt{2}}）$
• B． $（{3，3+2\sqrt{2}}]$
• C． （1，3）
• D． （1，3]

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，判断m，n的范围，根据f（m）=f（n）和基本不等式得出答案

解答 解：解方程x²-2x-1=0得x=1±$\sqrt{2}$，
∴当1-$\sqrt{2}$＜x＜1+$\sqrt{2}$时，x²-2x-1＜0，
当x＜1-$\sqrt{2}$或x＞1+$\sqrt{2}$时，x²-2x-1＞0，
作出f（x）的函数图象如图所示：

∵m＞n＞1，且f（m）=f（n），
∴1＜n＜1$+\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$＜m＜3．
f（n）=-n²+2n+1，f（m）=m²-2m-1，
∵f（m）=f（n），
∴m²-2m-1+n²-2n-1=0，即（m+n-1）²=2mn+3，
∵m+n＞2$\sqrt{mn}$＞1，
∴（m+n-1）²＞（2$\sqrt{mn}$-1）²=4mn-4$\sqrt{mn}$+1，
∴2mn+3＞4mn-4$\sqrt{mn}$+1，解得0＜$\sqrt{mn}$＜1+$\sqrt{2}$，
∴mn＜3+2$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 题考查了二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．