Question

14．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+y≤4}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则x²+y²取值范围为（　　）

• A． [1，8]
• B． [4，8]
• C． [1，10]
• D． [1，16]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．

解答 解：作出变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+y≤4}\\{x≥1}\end{array}\right.$，对应的平面区域：

则z=x²+y²的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，
则当动点P位于A或B时，OA或OB的距离最大，
当直线x=1与圆x²+y²=z相切时，距离最小，
即原点到直线x=1的距离d=1，即z的最小值为z=d²=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（1，3），由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$解得B（3，1）
此时z=x²+y²=3²+1²=9+1=10，
即z的最大值为10，
即1≤z≤10，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．