题目内容
一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y=m•f（x），其中f（x）=
．
（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人每一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
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（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人每一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
考点：函数模型的选择与应用,函数恒成立问题,分段函数的应用
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1将m=3代入得y=
；从而解不等式即可．
（2）当6≤x≤8时，y=2（4-
x）+m[
]=8-x+
，即8-x+
≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥
对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．
|
（2）当6≤x≤8时，y=2（4-
| 1 |
| 2 |
| 10 |
| 4+x-6 |
| 10m |
| x-2 |
| 10m |
| x-2 |
| x2-8x+12 |
| 10 |
解答：
解：（1）∵m=3，∴y=
；
当0≤x＜6时，
＞
=3＞2；
当6≤x≤8时，12-
x≥2得，x≤
；
故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达
小时．
（2）当6≤x≤8时，y=2（4-
x）+m[
]
=8-x+
，
∵8-x+
≥2对6≤x≤8恒成立，
故m≥
对6≤x≤8恒成立，
令g（x）=
，
则g（x）在[6，8]上是增函数，
故gmax（x）=
；
故m≥
；
故m的最小值为
．
|
当0≤x＜6时，
| 30 |
| 4+x |
| 30 |
| 4+6 |
当6≤x≤8时，12-
| 3 |
| 2 |
| 20 |
| 3 |
故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达
| 20 |
| 3 |
（2）当6≤x≤8时，y=2（4-
| 1 |
| 2 |
| 10 |
| 4+x-6 |
=8-x+
| 10m |
| x-2 |
∵8-x+
| 10m |
| x-2 |
故m≥
| x2-8x+12 |
| 10 |
令g（x）=
| x2-8x+12 |
| 10 |
则g（x）在[6，8]上是增函数，
故gmax（x）=
| 6 |
| 5 |
故m≥
| 6 |
| 5 |
故m的最小值为
| 6 |
| 5 |
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．
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