题目内容

一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y=m•f（x），其中f（x）=
10
4+x
，		0≤x＜6
4-
x
2
，		6≤x≤8
．
（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人每一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
考点：函数模型的选择与应用,函数恒成立问题,分段函数的应用
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：（1将m=3代入得y=
30
4+x
，0≤x＜6
12-
3x
2
，6≤x≤8
；从而解不等式即可．
（2）当6≤x≤8时，y=2（4-
1
2
x）+m[
10
4+x-6
]=8-x+
10m
x-2
，即8-x+
10m
x-2
≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥
x2-8x+12
10
对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．
解答： 解：（1）∵m=3，∴y=
30
4+x
，0≤x＜6
12-
3x
2
，6≤x≤8
；
当0≤x＜6时，
30
4+x
＞
30
4+6
=3＞2；
当6≤x≤8时，12-
3
2
x≥2得，x≤
20
3
；
故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达
20
3
小时．
（2）当6≤x≤8时，y=2（4-
1
2
x）+m[
10
4+x-6
]
=8-x+
10m
x-2
，
∵8-x+
10m
x-2
≥2对6≤x≤8恒成立，
故m≥
x2-8x+12
10
对6≤x≤8恒成立，
令g（x）=
x2-8x+12
10
，
则g（x）在[6，8]上是增函数，
故gmax（x）=
6
5
；
故m≥
6
5
；
故m的最小值为
6
5
．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；
（Ⅲ）当1＜a＜2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）
直线l过点P（
4
3
，2），且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
（2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
已知函数f（x）=2x2-3x+m（m为常数）与x轴交于A，B两点且线段AB的长为
1
2
．
（1）求m的值；
（2）若抛物线的顶点为P，求△ABP的面积．
已知当x∈[1，2）时，f（x）=|x-
5
3
|；当x∈[1，+∞）时，f（2x）=2f（x），则方程f（x）=log8x（1≤x≤12）的根的个数为（　　）
A、4B、5C、6D、7
已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1-
1
x
）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e 
x
a
-e 
1
a
＜0恒成立，求实数a的取值范围．
动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F作曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N，求证：直线MN必过定点．
下列命题错误的是（　　）
A、命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题
B、命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”
C、?x＞0且x≠1，都有x+
1
x
＞2
D、“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真
在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若
OA
•
OB
=6，则|
OG
|的最小值是
 
．

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