Question

在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若

OA

•

OB

=6，则|

OG

|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：设AB的中点为C，则点G在OC上，运用重心的性质和中点向量的表示，再由向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求得最小值．

解答： 解：设AB的中点为C，则点G在OC上，
且

OG

=

2

3

OC

=

2

3

•

OA + OB

2

=

1

3

（

OA

+

OB

），
∵

OA

•

OB

=||

OA

|•|

OB

|•cos60°=6，
∴|

OA

|•|

OB

|=12．
则|

OG

|=

1

3

（|

OA

+

OB

|=

1

3

( OA + OB )2

=

1

3

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=

1

3

| OA |2+| OB |2+12

≥

1

3

2| OA |•| OB |+12

=

1

3

×

2×12+12

=2，
当且仅当|

OA

|=|

OB

|时，等号成立，故|

OG

|的最小值是2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查三角形的重心的定义和性质，考查向量的数量积的定义和性质及模，基本不等式的应用，属于中档题．