Question

动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F作曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N，求证：直线MN必过定点．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，可得点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，利用抛物线的定义，可求曲线C的方程；
（2）求出M，N的坐标，可得直线MN的方程，即可得到结论．

解答： （1）解：∵动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，
∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴点P的轨迹为抛物线，曲线C的方程为y²=4x；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

∴x_M=

k2+2

k2

，∴y_M=k（x_M-1）=

2

k

∴M（

k2+2

k2

，

2

k

）
∵AB⊥CD，∴将M坐标中的k换成-

1

k

，可得N（2k²+1，-2k）
∴直线MN的方程为y+2k=

-2k- 2 k

2k2+1- k2+2 k2

（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不论k为何值，直线MN必过定点T（3，0）．

点评：本题主要考查抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线的方程是关键．