Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₂₀₁₄（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，求a₀+a₂+…+a₂₀₁₄的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）的展开式中含x⁶的项的系数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）在 f₂₀₁₄（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴中，分别令x=1、令x=-1可得两个等式，由这两个等式求得a₀+a₂+…+a₂₀₁₄ 的值．
（2）根据g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）=（1+x）⁶ +2（1+x）⁷+3（1+x）⁸，再根据二项展开式的通项公式，求得含x⁶的项的系数．

解答： 解：（1）由于f_n（x）=（1+x）ⁿ，在 f₂₀₁₄（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴中，
令x=1可得 a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄=f（1）=2ⁿ，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-a₃+-a₄+…+a₂₀₁₄=f（-1）=0，
再把这两个等式相加，可得2（a₀+a₂+…+a₂₀₁₄）=2ⁿ，∴a₀+a₂+…+a₂₀₁₄=2^n-1．
（2）∵g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）=（1+x）⁶ +2（1+x）⁷+3（1+x）⁸，
∴含x⁶的项的系数为

C

6 6

+2

C

6 7

+3

C

6 8

=99．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．