Question

已知函数f（x）=

- 1 2 x(0≤x≤4) 1 2 x2-4x+6(4＜x≤6)

的图象上有两点A（t，f（t））、B（t+1，f（t+1）），自A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，求四边形ABCD的面积S关于t的函数解析式（如图），并求S的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分别求0＜t≤3，3＜t＜4，4≤t＜5，面积S的表达式，注意运用f（x）的表达式和梯形面积公式，再求各段的最大值，注意运用配方和二次函数的性质，再求最大的即可．

解答： 解：当t＞0且t+1≤4时，即0＜t≤3，
AD=|f（t）|=

1

2

t，BC=|f（t+1）|=

1

2

（t+1），CD=1，
则S=

(AD+BC)•CD

2

=

1

2

t+

1

4

，
当t＜4且t+1＞4，即3＜t＜4，
AD=

1

2

t，BC=|f（t+1）|=-

1

2

（t+1）²+4（t+1）-6，
则S=

(AD+BC)•CD

2

=-

1

4

t²+

7

4

t-

5

4

，
当t≥4且t+1＜6即4≤t＜5，
AD=|f（t）|=-

1

2

t²+4t-6，BC=|f（t+1）|=-

1

2

（t+1）²+4（t+1）-6，
则S=

(AD+BC)•CD

2

=-

1

2

t²+

7

2

t-

17

4

，
∴S=

1 2 t+ 1 4 ，0＜t≤3 - 1 4 t2+ 7 4 t- 5 4 ，3＜t＜4 - 1 2 t2+ 7 2 t- 17 4 ，4≤t＜5

，
当0＜t≤3时，S_max=

1

2

×3+

1

4

=

7

4

；
当3＜t＜4时，S=-

1

4

（t-

7

2

）²+

29

16

，t=

7

2

，得S_max=

29

16

；
当4≤t＜5时，S=-

1

2

（t-

7

2

）²+

15

8

，t=4，得S_max=

7

4

．
综上，t=

7

2

，得S取最大值，且为

29

16

．

点评：本题考查分段函数的运用，求分段函数表达式，考查分段函数的最值，注意对各段分别求最值，再求最大的，属于中档题．