题目内容
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，2a=
bsinA+acosB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
| 3 |
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=
，由此求得 B 的值．
（Ⅱ）利用余弦定理和基本不等式即可得出．
| 3 |
（Ⅱ）利用余弦定理和基本不等式即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2a=
bsinA+acosB，由正弦定理可得∴2=
sinB+cosB=2sin（B+
），
sin（B+
）=1，B是三角形内角，
∴B=
．
（Ⅱ）由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴22=a2+c2-2accos60°，化为a2+c2-ac=4．
∴4≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号．
∴S△ABC=
acsin60°=
ac≤
×4=
．
△ABC面积的最大值：
．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
sin（B+
| π |
| 6 |
∴B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴22=a2+c2-2accos60°，化为a2+c2-ac=4．
∴4≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号．
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
△ABC面积的最大值：
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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