题目内容

已知函数f（x）=
6x+4x+9xa
的定义域为（-∞，1]，求实数a的取值范围．
考点：函数的定义域及其求法
专题：函数的性质及应用
分析：由题意6x+4x+9xa≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，化为a≥-[(
2
3
)x+(
4
9
)x]在区间（-∞，1]上恒成立；
设t=(
2
3
)x+(
4
9
)x，求出t的最小值，即得a的取值范围．
解答： 解：根据题意，6x+4x+9xa≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，
即a≥-[(
2
3
)x+(
4
9
)x]在区间（-∞，1]上恒成立；
∴函数t=(
2
3
)x+(
4
9
)x=(
2
3
)2x+(
2
3
)x=((
2
3
)x+
1
2
)2-
1
4
，
在x=1时，t=
2
3
+
4
9
=
10
9
，
∴t≥
10
9
；
∴-t≤-
10
9
，
∴a≥-
10
9
；
即a的取值范围是[-
10
9
，+∞）．
点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应用转化思想，化为求函数在某一区间上的最值问题，是易错题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）记g（x）=log2[f（x）-1]，求函数g（x）的定义域．
（3）若对任意的x∈[-
π
6
，
π
6
]，不等式log
1
2
f（x）＞m-3恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=
-
1
2
x(0≤x≤4)
1
2
x2-4x+6(4＜x≤6)
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已知函数f（x）=3sin（
1
2
x+
π
4
），x∈R．
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（2）写出f（x）的对称轴方程、对称中心及单调递减区间；
（3）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到f（x）=3sin（
1
2
x+
π
4
），x∈R的图象．
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为了加强对H7N9的防控，某养鸭场要围成相同面积的长方形鸭笼四间（无盖），如图所示，一面可利用原有的墙，其他各面用铁丝网围成．
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已知函数f（x）=cosωx（
3
sinωx+cosωx）（ω＞0）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
π
4
．
﹙Ⅰ﹚求ω的值及函数f（x）当x∈[0，π]时的单调递减区间；
﹙Ⅱ﹚当x∈[0，
π
2
]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的值．
已知：函数f（x）满足f（log2x）=
2(x2-1)
3x
．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式并讨论其单调性；
（Ⅱ）若对任意实数x∈[-1，
1
2
]，都有|f（x）|的值不大于a2+3a+3，求实数a的取值范围．

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