Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，M（

2

3

，m）是C₁与C₂在第一象限内的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求p的值与椭圆的方程；
（2）设点Q是椭圆上除长轴两端外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值以及定点A，B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点M(

2

3

，m)在抛物线上，且|MF2|=

5

3

，抛物线准线为x=-

p

2

，可得

2

3

+

p

2

=

5

3

，求出p，求得M的坐标，由它在椭圆上及椭圆右焦点为F₂（1，0），求出a，b，即可求出椭圆的方程；
（2）求出直线QA，QB的斜率之积，利用直线QA，QB的斜率之积为定值，根据恒等关系，即可求出定点A，B的坐标．

解答： 解：（1）因为点M(

2

3

，m)在抛物线上，且|MF2|=

5

3

，抛物线准线为x=-

p

2

，
所以，

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，…（3分）
所以，抛物线方程为y²=4x，焦点F₂（1，0），
点M(

2

3

，m)代入y²=4x得m=

2 6

3

，所以点M(

2

3

，

2 6

3

)，
由它在椭圆上及椭圆右焦点为F₂（1，0）得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
所以，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）

（2）设A(s，0)

，

B(t，0)

，

Q(x0，y0)，因为点Q是椭圆上除长轴两端外的任意一点，
所以，

x02

4

+

y02

3

=

1

，即

y

2 0

=3(1-

x 2 0

4

)，设直线QA，QB的斜率之积为定值k，…（8分）
所以，KQA•KQB=

y0

x0-s

•

y0

x0-t

=

y 2 0

x 2 0 -(s+t)x0+st

=

3(1- x 2 0 4 )

x 2 0 -(s+t)x0+st

=k，
所以，3-

3 x 2 0

4

=k

x

2 0

-k(s+t)x0+kst，所以，

k=- 3 4 -k(s+t)=0 kst=3

⇒

k=- 3 4 s=2 t=-2

o

r

k=- 3 4 s=-2 t=2

，
所以，斜率之积为定值-

3

4

，定点A，B的坐标为（2，0），（-2，0）．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程和求法和定点A，B的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的灵活运用，注意合理地进行等价转化．