Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a∈R，b∈R，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）求证：f（x）在R上为增函数；
（2）若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在R上为增函数；
（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，进行转化即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，
则由条件可得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，
则f（x₁）+f（-x₂）＜0，
即f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），则f（x）在R上为增函数；
（2）∵f（x）在R上为增函数且函数f（x）是奇函数，若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴不等式等价为f（9^x-2•3^x）＞-f（2•9^x-k）=f（k-2•9^x），
则9^x-2•3^x＞k-2•9^x，
即k＜3•9^x-2•3^x对任意x∈[0，+∞）恒成立，
设u=3•9^x-2•3^x，
设t=3^x，则t≥1，
则u=3•9^x-2•3^x=u=3•t²-2•t=3（t-

1

3

）²-

1

3

≥1，
∴k＜1．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．