Question

（1）判断函数f（x）=x³+

1

x3

的奇偶性；
（2）判断函数f（x）=

x

x2-1

在（-1，1）内的单调性并用单调性的定义证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）=x³+

1

x3

的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x³-

1

x3

=-（x³+

1

x3

）=-f（x），
故函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）=

x

x2-1

在（-1，1）内的单调递减，
设1＞x₁＞x₂＞-1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12-1

-

x2

x22-1

=

(x2-x1)(1+x1x2)

(x12-1)(x22-1)

，
∵1＞x₁＞x₂＞-1，
∴x₂-x₁＞0，且x₁²＜1，x₂²＜1，x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在区间（-1，1）上是减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．