题目内容
已知数集A={a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性质P：?i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a1=0；
（3）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
（1）分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a1=0；
（3）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
考点：等差数列的性质,集合的包含关系判断及应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由4+4与4-4均不属于数集{1，2，3，4}，可得该数集不具有性质P；
（2）可得an+an与an-an中至少有一个属于A，而an+an∉A，只有an-an∈A，可得结论；
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，由A具有性质P，结合等差数列的定义逐步可得．
（2）可得an+an与an-an中至少有一个属于A，而an+an∉A，只有an-an∈A，可得结论；
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，由A具有性质P，结合等差数列的定义逐步可得．
解答：
证明：（1）∵4+4与4-4均不属于数集{1，2，3，4}，∴该数集不具有性质P；
（2）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，∴an+an与an-an中至少有一个属于A，
又∵an+an＞an，∴an+an∉A，∴an-an∈A，即0∈A，
又a1≥0，a2＞0，∴a1=0；
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，
由A具有性质P，a5-ai∈A，又i=1时，a5-a1∈A，
∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，
则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，
从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4-a3=a3-a2＜a3，
又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4∉A，则a4-a3∈A，则有a4-a3=a2=a2-a1．
又∵a5-a4=a2=a2-a1，∴a5-a4=a4-a3=a3-a2=a2-a1=a2，
即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．
（2）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，∴an+an与an-an中至少有一个属于A，
又∵an+an＞an，∴an+an∉A，∴an-an∈A，即0∈A，
又a1≥0，a2＞0，∴a1=0；
（3）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，
由A具有性质P，a5-ai∈A，又i=1时，a5-a1∈A，
∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，
则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，
从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4-a3=a3-a2＜a3，
又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4∉A，则a4-a3∈A，则有a4-a3=a2=a2-a1．
又∵a5-a4=a2=a2-a1，∴a5-a4=a4-a3=a3-a2=a2-a1=a2，
即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．
点评：本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，属中档题．
练习册系列答案
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