Question

已知函数f(x)=1-

m

x+1

，定义域为（-1，+∞），且f（2）=-1
（1）求m的值；
（2）试判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义加以证明；
（3）在定义域内利用单调性解不等式f（x）＜-1．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把点代入求出即可，（2）设x₁＞x₂＞-1，根据定义直接证明，（3）根据不等式的解题步骤解出即可．

解答： 解：（1）把（2，-1）代入函数得：-1=1-

m

3

，解得：m=6；
（2）设x₁＞x₂＞-1，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-

m

x1+1

-1+

m

x2+1

=

m(x1-x2)

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁-x₂＞0，x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即：f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在定义域上是增函数；
（3）解1-

6

x+1

＜-1，
即

6

x+1

＞2，
解得：x＜2，
∴-1＜x＜2．
∴不等式的解集为：{x|-1＜x＜2}．

点评：本题考察了用定义证明函数的单调性，不等式的解法，是一道基础题．