Question

数列{a_n}、{b_n}的每一项都是正数，a₁=8，b₁=16，且a_n、b_n、a_n+1成等差数列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求a₂、b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）记

1

cn

=

1

an

+

1

an+1

，证明：对一切正整数n，有

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

8

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由a_n、b_n、a_n+1成等差数列可得a₂=2b₁-a₁=24．由b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列可得

a

2 2

=b1b2，代入已知条件得到a₂、b₂的值；
（Ⅱ）由a_n、b_n、a_n+1成等差数列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，得到2b_n=a_n+a_n+1，an+1=

bnbn+1

．联立得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，由此可知数列{

bn

}是等差数列，由等差数列的通项公式求得b_n，进一步得到a_n；
（Ⅲ）把数列{a_n}的通项公式代入

1

cn

=

1

an

+

1

an+1

，整理后利用裂项相消法求其和，最后放缩得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n、b_n、a_n+1成等差数列，得2b₁=a₁+a₂，
又a₁=8，b₁=16，
可得a₂=2b₁-a₁=24．
由b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，
得

a

2 2

=b1b2，可得b2=

a 2 2

b1

=36；
（Ⅱ）解：∵a_n、b_n、a_n+1成等差数列，
∴2b_n=a_n+a_n+1…①．
∵b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，
∴

a

2 n+1

=bnbn+1，
∵数列{a_n}、{b_n}的每一项都是正数，
∴an+1=

bnbn+1

…②．
于是当n≥2时，an=

bn-1bn

…③．
将②、③代入①式，可得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
因此数列{

bn

}是首项为4，公差为2的等差数列，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=2n+2，于是bn=4(n+1)2．
则an=

bn-1bn

=

4n2•4(n+1)2

=4n(n+1)．
当n=1时，a₁=8，满足该式子，
∴对一切正整数n，都有a_n=4n（n+1）；
（Ⅲ）证明：∵

1

an

=

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

cn

=

1

an

+

1

an+1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)．
于是

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

4

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

4

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

8

．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明不等式，属难题．