题目内容
已知函数f（x）=alnx-4x，g（x）=-x2-3．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）h（x）=alnx+x2-4x+3，求导数，分类讨论，确定单调性，即可求实数a的取值范围．
（Ⅱ）h（x）=alnx+x2-4x+3，求导数，分类讨论，确定单调性，即可求实数a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx-4x，
∴f′（x）=
-4，…（1分）
∴f′（1）=a-4，…（2分）
故切线方程为y=（a-4）x-a； …（4分）
（Ⅱ）h（x）=alnx+x2-4x+3，
∴h′（x）=
，…（5分）
①若△=16-8a≤0，即a≥2，则h′（x）≥0，
则h（x）在（1，+∞）上单调递增，又h（1）=0，不符舍去． …（7分）
②若△＞0，则a＜2，
令h′（x）＞0得x＞1+
，令h′（x）＜0得0＜x＜1+
，
则h（x）在（0，1+
）上单调递减，在（1+
，+∞）单调递增，…（9分）
又h（1）=0，则必有h（e）＜0，…（10分）
即a+e2-4e+3＜0，
∴a＜-e2+4e-3． …（12分）
∴f′（x）=
| a |
| x |
∴f′（1）=a-4，…（2分）
故切线方程为y=（a-4）x-a； …（4分）
（Ⅱ）h（x）=alnx+x2-4x+3，
∴h′（x）=
| 2x2-4x+a |
| x |
①若△=16-8a≤0，即a≥2，则h′（x）≥0，
则h（x）在（1，+∞）上单调递增，又h（1）=0，不符舍去． …（7分）
②若△＞0，则a＜2，
令h′（x）＞0得x＞1+
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
则h（x）在（0，1+
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
又h（1）=0，则必有h（e）＜0，…（10分）
即a+e2-4e+3＜0，
∴a＜-e2+4e-3． …（12分）
点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
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| ||
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| ||
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