Question

已知n∈N^*，设函数f_n（x）=n-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，x∈R．
（1）求函数y=f₂（x）-bx（b∈R）的单调区间；
（2）是否存在整数t，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=n-1在区间[t，t+1]上有唯一实数解，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）y=f₂（x）-bx，求导数y′，按△≤0，△＞0两种情况讨论，△≤0时y′≤0，可知函数在R上的单调性；当△＞0时解不等式y′＞0，y′＜0即得函数的单调区间；
（2）先求n=1时方程f_n（x）=0的根，得区间[1，2]，理由如下：n=1时求出方程的根，易判断；当n≥2时，求出f_n′（x），讨论可得x=-1，0时f′_n（x）＜0，x≠-1，0时，利用等比数列求和公式可化简f′_n（x），此时也可判断f′_n（x）＜0，从而可得f_n（x）在（-∞，+∞）上单调递减．而f_n（1）0，根据零点存在定理及函数单调性知，方程f_n（x）=0在[1，2]上有唯一实数解，综述可得结论；

解答： 解：（1）∵f（x）=2-x+

x2

2

-

x3

3

，y=f₂（x）-bx，
∴y=2-x+

x2

2

-

x3

3

-bx，
∴y′=-x²+x-b-1=-（x²-x+b+1）
方程x²-x+b+1=0的判别式△=1-4（b+1）=-3-4b
当b≥-

3

4

，△≤0，y′≤0
故函数y=f₂（x）-bx在R上单调递减
当b＜-

3

4

时，方程x²-x+b+1=0的两个实根为x1=

1- -3-4b

2

x2=

1+ -3-4b

2

则x∈（-∞，-1）时，y'＜0；x∈（x₁，x₂）时，y'＞0，x∈（x₂，+∞）时，y'＜0
故函数y=f₂（x）-bx的单调递减区间为（-∞，x₁）、（x₂，+∞）
单调递增区间为（x₁，x₂）．
（2）存在t=1，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解，理由如下：
当n=1时，f₁（x）=1-x，令f₁（x）=1-x=0，解得x=1，
所以关于x的方程f₁（x）=0有唯一实数解x=1；
当n≥2时，由f_n（x）=n-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，x∈R．
得f_n′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2，
若x=-1，则f′_n（x）=f′_n（-1）=-（2n-1）＜0，
若x=0，则f′_n（x）=-1＜0，
若x≠-1且x≠0时，则f′_n（x）=-

x2n-1+1

x+1

，
当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f′_n（x）＜0，
当x＞-1时，x+1＞0，x^2n-1+1＞0，f′_n（x）＜0，
所以f′_n（x）＜0，故f_n（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
∵gn(1)=(1-1)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

2n-2

-

1

2n-1

)＞0
gn(2)=(1-2)+(

22

2

-

23

3

)+(

24

4

-

25

5

)+…+(

22n-2

2n-2

-

22n-1

2n-1

)
=-1+22(

1

2

-

2

3

)+24(

1

4

-

2

5

)+…+22n-2(

1

2n-2

-

2

2n-1

)
=-1-

1

2×3

×22-

3

4×5

×24-…-

2n-3

(2n-2)(2n-1)

＜0
∴方程g_n（x）=0在[1，2]上有唯一实数解
当x∈（-∞，1）时，g_n（x）＞g_n（1）＞0；当x∈（2，+∞）时，g_n（x）＜g_n（2）＜0
综上所述，对于任意n∈N^*，关于x的方程g_n（x）=0在区间[1，2]上有唯一实数解，所以t=1．

点评：本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括、推理论证、运算求解、创新意识．