Question

在平面直角坐标系中，若

a

=（x-1，y），

b

=（x+1，y），且|

a

|+|

b

|=4．
（1）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程
（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知向量的坐标结合|

a

|+|

b

|=4可知动点Q（x，y）的轨迹是以（-1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由此可得椭圆的标准方程；
（2）设出A，B的坐标，分别代入椭圆方程求得A的坐标，由直线的斜率公式得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（x-1，y），

b

=（x+1，y），且|

a

|+|

b

|=4，
∴

(x-1)2+y2

+

(x+1)2+y2

=4，
即动点Q（x，y）满足到（-1，0）和（1，0）的距离的和为定值4．
∴动点Q（x，y）的轨迹是以（-1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
由a=2，c=1得，b²=3，
∴轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设A（x₀，y₀），由题意知，B（2x₀，2y₀-3），
∵A，B都在椭圆上，
∴

x02

4

+

y02

3

=1，

4x02

4

+

(2y0-3)2

3

=1，
联立解得：

x0=-1 y0= 3 2

或

x0=1 y0= 3 2

．
当A（-1，

3

2

）时，直线m的斜率为

3- 3 2

0+1

=

3

2

；
当A（1，

3

2

）时，直线m的斜率为

3- 3 2

0-1

=-

3

2

．
∴直线m的斜率为±

3

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了中点坐标公式的应用，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．