题目内容

如图，在四边形ABCD中，|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=4，
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=4，则（
AB
+
DC
）•
AC
的值为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由于
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，可得AB⊥BD，BD⊥DC．由于|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=4，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=4，解得|
AB
|+|
DC
|=2=|
BD
|．由于
AB
与
DC
方向相同，可得
AB
•
DC
=|
AB
||
DC
|．又
AC
=
AB
+
BD
+
DC
，代入（
AB
+
DC
）•
AC
=（
AB
+
DC
）•(
AB
+
BD
+
DC
)展开即可得出．
解答： 解：∵
AB
•
BD
=
BD
•
DC
=0，∴AB⊥BD，BD⊥DC．
∵|
AB
|+|
BD
|+|
DC
|=4，|
AB
|•|
BD
|+|
BD
|•|
DC
|=4，
∴|
AB
|+|
DC
|=2=|
BD
|．
∵
AB
与
DC
方向相同，∴
AB
•
DC
=|
AB
||
DC
|．
∵
AC
=
AB
+
BD
+
DC
，
∴（
AB
+
DC
）•
AC
=（
AB
+
DC
）•(
AB
+
BD
+
DC
)
=
AB
2+
AB
•
BD
+
AB
•
DC
+
DC
•
AB
+
DC
•
BD
+
DC
2
=
AB
2+2
AB
•
DC
+
DC
2
=(|
AB
|+|
DC
|)2
=22=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的共线、数量积运算性质、向量的运算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
若f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且当x＞0，f（x）=2x（1-x），求：
（1）f（-2）的值；
（2）当x＜0时，函数的解析式；
（3）求f（x）的解析式．
求方程x3-2x-5=0在区间（2，3）内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是
 
．
设定义域为R的函数f（x）={
 
|lgx|，x＞0
-x2-2x，x≤0
，若关于x的函数y=2f2（x）+mf（x）+1有8个不同的零点，则实数m的取值范围是
 
．
x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，则lgx•lgy最大值为
 
．
已知函数f（x）=2log 
1
2
x的定义域为[
2
2
，
2
]，则函数f（x）的值域是
 
．
直线y=x与正弦曲线y=sinx的交点个数为
 
．
已知向量|
a
|=2，|
b
|=1，|3
a
-
b
|=5，则
a
与
b
夹角的大小为
 
．
设Sn是各项均为非零实数的等差数列{an}的前n项和，且满足条件a12+a102≤4，则S9的最大值为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网