Question

已知函数f（x）=2x+

1

2x

．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）分别指出函数f（x）在区间（0，2）和（-2，0）上的单调性并证明；
（3）分别指出函数f（x）在区间（2，4）和（-4，-2）上的单调性并证明；
（4）由此你发现了什么结论？

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求函数f（x）的定义域，根据奇函数的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）求f′（x），根据f′（x）符号即可判断函数在（0，2），（-2，0）上的单调性；
（3）根据（2）求得的导数，判断导数在区间（2，4），（-4，-2）上的符号，即可判断函数在这两个区间上的单调性；
（4）通过观察函数f（x）在对称区间上的单调性，发现奇函数在对称区间上的单调性一致．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}；
f（-x）=-2x-

1

2x

=-f（x），∴该函数为奇函数；
（2）f′（x）=2-

1

2x2

=

4(x2- 1 4 )

2x2

；
∴x∈（-2，-

1

2

）时，f′（x）＞0；x∈(-

1

2

，0)时，f′（x）＜0；x∈(0，

1

2

)时，f′（x）＜0；x∈(

1

2

，2)时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在(-

1

2

，0)，(0，

1

2

)上单调递减，在(-2，-

1

2

]，[

1

2

，2)上单调递增；
（3）由（2）知，x∈（2，4），x∈（-4，-2）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（2，4），（-4，-2）上单调递增；
（4）得出的结论是：奇函数在对称区间上的单调性一样．

点评：考查奇函数的定义，及判断方法，根据导数符号判断函数的单调性，以及奇函数在对称区间上的单调性的特点．