Question

已知函数f（x）=ln

x+1

x-1

．
（1）若x∈[2，6]，f（x）＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求实数m的范围；
（2）当n∈N^*，试比较f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n²的大小关系．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把f（x）＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立整理变形得到0＜m＜（x-1）（7-x），利用二次函数求出最小值后得m得范围；
（2）化简f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n），构造函数h（x）=ln（x+1）-（x+

x2

2

）（x＞0），求导求其最大值，取x=2n得到f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）与2n+2n²的大小关系．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln

x+1

x-1

，
当x∈[2，6]时，f（x）＞ln

m

(x-1)(7-x)

，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

，x+1＞

m

7-x

．
∴0＜m＜（x+1）（7-x）．
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
当x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7．
∴0＜m＜7；
（2）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）
=ln（2n+1）．
令h（x）=ln（x+1）-（x+

x2

2

）（x＞0），
h′(x)=

-x2-2x

x+1

，
∵x＞0，
∴h′(x)=

-x2-2x

x+1

＜0，
h（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴h（x）＜h（0）=0．
取x=2n得f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）＜2n+2n²．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是中档题．