Question

已知函数f（x）=

3x+2

x+2

．
（1）若数列{a_n}，{b_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an+1

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记S_n=b₁+b₂+…+b_n若

1

Sn

≤m恒成立．求m的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由函数式结合a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an+1

得到数列{bn-

1

3

}是等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）利用分组求和求出S_n=b₁+b₂+…+b_n，取倒数后利用函数的单调性求出

1

Sn

的最大值，则使

1

Sn

≤m恒成立的m的最小值可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3x+2

x+2

，a_n+1=f（a_n），
∴an+1=

3an+2

an+2

，又b_n=

1

an+1

，
则bn+1=

1

an+1+1

=

1

3an+2 an+2 +1

=

1

4

bn+

1

4

．
即bn+1-

1

3

=

1

4

(bn-

1

3

)．
∵a₁=

1

2

，
∴b1=

1

a1+1

=

2

3

，b1-

1

3

=

1

3

．
∴bn-

1

3

=

1

3

•(

1

4

)n-1．
则bn=

1

3

+

1

3

•(

1

4

)n-1；
（2）记S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n

3

+

1

3

(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

)
=

n

3

+

1

3

•

1- 1 4n

1- 1 4

=

n

3

+

4

9

(1-

1

4n

)=

3n•4n-1+4n-1

9•4n-1

．
∴

1

Sn

=

9•4n-1

3n•4n-1+4n-1

=

9

3n+4- 1 4n-1

．该函数在n∈N^*时是减函数，
∴(

1

Sn

)max=

3

2

．
∴使

1

Sn

≤m恒成立的m的最小值为

3

2

．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是压轴题．