Question

若函数f（x）=asinx+bcosx，非零向量

m

=（a，b），则称

m

为f（x）的“相伴向量”，f（x）为

m

的“相伴函数”
（Ⅰ）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2（ω≥0）的最小正周期为2π，求f（x）的“相伴向量”

m

的模；
（Ⅱ）向量

n

=(n，1)的“相伴函数”为g（x），且

n

与（1）中

m

满足

n

•

m

=1+

3

．将g（x）图象上所有点横坐标伸长为原来2倍，再将图象向左平移

2π

3

个单位长度，得到函数h（x），若h(2α+

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，求sinα．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）将f（x）利用基本关系式以及倍角公式化简，得到a，b；
（Ⅱ）由题意得到g（x）的解析式，根据变换，得到h（x），由三角函数值求sinα．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx，
所以f(x)=

2

sin(2ωx+

π

4

)，依题意

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

∴

m

=(1，1)
（Ⅱ）依题意因为向量

n

=(n，1)的“相伴函数”为g（x），

n

•

m

=1+

3

．
所以g(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)
∴h(x)=2sin(

1

2

x+

π

2

)故h(2α+

π

3

)=

6

5

π∴cos(α+

π

6

)=

4

5

∴sinα=

4 3 -3

10

点评：本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的性质、向量的坐标表示、向量的运算等基础知识，考查创新思维能力、推理论证能力、阅读理解能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及应用意识．