题目内容

双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使
AP
•
PQ
=0，求此双曲线的离心率的取值范围．
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：点P（m，n），利用数量积为零算出（m-a）（2a-m）-n2=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b2（
m2
a2
-1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．
解答： 解：设点P（m，n），可得
AP
=（m-a，n），
PQ
=（2a-m，-n）
∵
AP
•
PQ
=（m-a）（2a-m）-n2=0（1）
又∵P（m，n）在双曲线上，
∴
m2
a2
-
n2
b2
=1，得n2=b2（
m2
a2
-1）（2）
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（
m2
a2
-1）=0，
化简整理，得-
c2
a2
m2+3am+c2-3a2=0
此方程的一根为m1=a，另一根为m2=
3a3-ac2
c2
．
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴
3a3-ac2
c2
＞a，得3a2＞2c2，即e2＜
3
2

由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜
6
2
．
点评：本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（2a，0）所张的角等于90度，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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sin10°cos10°cos20°cos40°cos80°=
 
．
如图，一段半径为R，圆心角为90°的扇形圆木，欲按图中阴影部分据成横截面为四边形OABC的木材．试问，怎样据才能使截面面积最大？
已知sin（5π-θ）+sin（
5
2
π-θ）=
7
2
．求：sin3（
π
2
+θ）-cos3（
3
2
π-θ）的值．
y=
|x2-1|
x-1
的图象与y=k恰有两个交点，求k的范围．
若函数f（x）=asinx+bcosx，非零向量
m
=（a，b），则称
m
为f（x）的“相伴向量”，f（x）为
m
的“相伴函数”
（Ⅰ）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx-2（ω≥0）的最小正周期为2π，求f（x）的“相伴向量”
m
的模；
（Ⅱ）向量
n
=(n，1)的“相伴函数”为g（x），且
n
与（1）中
m
满足
n
•
m
=1+
3
．将g（x）图象上所有点横坐标伸长为原来2倍，再将图象向左平移
2π
3
个单位长度，得到函数h（x），若h(2α+
π
3
)=
6
5
，α∈(0，
π
2
)，求sinα．
设函数f（x）=lnx+
1
2
ax2-2bx
（Ⅰ）当a=-3，b=1时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-
1
2
ax2+2bx+
a
x
（
1
2
≤x≤3），其图象上存在一点P（x0，y0），使此处切线的斜率k≤
1
2
，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-
1
2
，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．
若两条曲线的极坐标方程分别为ρcosθ+
3
ρsinθ=1与ρ=2cos(θ+
π
3
)，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．
设函数f（x）=
x2-4x+2，x≥0
3x+1，x＜0
，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3
的取值范围是（　　）
A、（3，4]
B、（
11
3
，4）
C、（
11
3
，4]
D、（3，4）

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