题目内容
已知函数f（x）=
(ax-a-x)，其中a＞1．
（1）当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0成立，求实数m的取值范围；
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-4＜0恒成立，求实数a的取值范围．
| a |
| a2-1 |
（1）当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0成立，求实数m的取值范围；
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-4＜0恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：求出函数f（x）的奇偶性和单调性．
（1）由函数的性质把不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0转化为关于m的一元二次不等式组，求解不等式组得答案；
（2）由函数的单调性求出函数在x∈（-∞，2]上的最大值，然后求解关于a的不等式得答案．
（1）由函数的性质把不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0转化为关于m的一元二次不等式组，求解不等式组得答案；
（2）由函数的单调性求出函数在x∈（-∞，2]上的最大值，然后求解关于a的不等式得答案．
解答：
解：令g（x）=ax-a-x，
∵g（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数，则f（x）=
(ax-a-x)为奇函数，
设x1＜x2，可得
g（x1）-g（x2）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+
=（ax1-ax2）（1+
），
∵1+
＞0，当a＞1时ax1-ax20，
∴当a＞1时g（x1）-g（x2）＜0，函数g（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时g（x1）-g（x2）＞0，函数g（x）是（-∞，+∞）上的减函数．
∴当a＞1时函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
综上，函数数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（1）x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0成立，
则f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1）成立，
即
，解得：1＜m＜
；
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-4＜0恒成立，
即f（x）＜4恒成立，
∵函数数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴当x∈（-∞，2]时，f(x)max=f(2)=
(a2-a-2)，
则
(a2-a-2)＜4，即
＜0，
当a＞1时，得a（a2-4a+1）＜0，解得1＜a＜2+
；
当0＜a＜1时，得a（a2-4a+1）＜0，解得2-
＜a＜1．
∴实数a的取值范围是(2-
，1)∪(1，2+
)．
∵g（-x）=a-x-ax=-（ax-a-x）=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数，则f（x）=
| a |
| a2-1 |
设x1＜x2，可得
g（x1）-g（x2）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+
| ax1-ax2 |
| ax1•ax2 |
=（ax1-ax2）（1+
| 1 |
| ax1•ax2 |
∵1+
| 1 |
| ax1•ax2 |
∴当a＞1时g（x1）-g（x2）＜0，函数g（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时g（x1）-g（x2）＞0，函数g（x）是（-∞，+∞）上的减函数．
∴当a＞1时函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
综上，函数数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（1）x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0成立，
则f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1）成立，
即
|
| 2 |
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-4＜0恒成立，
即f（x）＜4恒成立，
∵函数数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴当x∈（-∞，2]时，f(x)max=f(2)=
| a |
| a2-1 |
则
| a |
| a2-1 |
| (a2-1)(a2-4a+1) |
| a(a2-1) |
当a＞1时，得a（a2-4a+1）＜0，解得1＜a＜2+
| 3 |
当0＜a＜1时，得a（a2-4a+1）＜0，解得2-
| 3 |
∴实数a的取值范围是(2-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，考查了不等式的解法，是中档题．
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|
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| ||
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| ||
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