Question

8．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（1+x）=f（1-x），且其导数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有（　　）

• A． f（2）＞f（2^m）＞f（log₂m）
• B． f（log₂m）＞f（2^m）＞f（2）
• C． f（2^m）＞f（log₂m）＞f（2）
• D． f（2^m）＞f（2）＞f（log₂m）

Answer 1

分析 先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log₂m、2^m的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log₂m）、f（2^m）的大小即可．

解答 解：∵函数f（x）对任意x都有f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=1，
∵导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，（-∞，1）上单调递减，
∵2＜m＜4，
∴2^m＞4＞2＞log₂m，
∴f（2^m）＞f（2）＞f（log₂m），
故选：D．

点评 本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，同时考查了数形结合的思想，该题有一定的思维量，属于基础题之列．