Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{8+a}+\frac{y^2}{9}=1$的焦距为$4\sqrt{2}$，则a=9或-7；当a＜0时，椭圆C上存在一点P，有|PF₁|=2|PF₂|（F₁，F₂为椭圆焦点），则△F₁PF₂的面积为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 当焦点在x轴上时，解得a=9；当焦点在y轴上时，解得a=-7，由此能求出a的值；当a＜0时，椭圆方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，求出|PF₂|=2，∴|PF₁|=4，|F₁F₂|=2c=4$\sqrt{2}$，由此能求出△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵椭圆$C：\frac{x^2}{8+a}+\frac{y^2}{9}=1$的焦距为$4\sqrt{2}$，
∴当焦点在x轴上时，8+a-9=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=9；
当焦点在y轴上时，9-（8+a）=（2$\sqrt{2}$）²，解得a=-7，
综上，a的值为9或-7．
当a＜0时，椭圆方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
椭圆C上存在一点P，有|PF₁|=2|PF₂|（F₁，F₂为椭圆焦点），
由椭圆定义得：|PF₁|+|PF₂|=3|PF₂|=6，解得|PF₂|=2，∴|PF₁|=4，
∵|F₁F₂|=2c=4$\sqrt{2}$，∴p=$\frac{1}{2}$（2+4+4$\sqrt{2}$）=3+2$\sqrt{2}$，
∴△F₁PF₂的面积S=$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）（1+2\sqrt{2}）（-1+2\sqrt{2}）（3-2\sqrt{2}）}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：9或-7，$\sqrt{7}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．