Question

13．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，点P是B₁C的三等分点且靠近点C，则异面直线AP和DD₁所成的角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．由$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$，即可得出$\overrightarrow{AP}$，再利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），A（3，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2$\sqrt{6}$），
B₁（3，2，2$\sqrt{6}$），
∵$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，0）+$\frac{1}{3}$$（3，0，2\sqrt{6}）$=$（1，2，\frac{2\sqrt{6}}{3}）$．
∴$\overrightarrow{AP}$=$（-2，2，\frac{2\sqrt{6}}{3}）$，
$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=$（0，0，2\sqrt{6}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{D{D}_{1}}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{D{D}_{1}}|}$=$\frac{8}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}×2\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞$=$\frac{π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．