Question

3．已知函数f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0且a≠1）．
（I） 求函数的定义域，并证明：f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0且a≠1）在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]，log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞log_a$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{x+1}{x-1}$＞0解得定义域，在定义域范围内考察f（-x）=-f（x）成立；
（Ⅱ）根据对数的性质，转化为真数大小关系恒成立，再利用分离参数法求m范围．

解答 解　（Ⅰ）由 $\frac{x+1}{x-1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，
f（-x）=log_a $\frac{-x+1}{-x-1}$=log_a $\frac{x-1}{x+1}$=-log_a $\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$在定义域上是奇函数．
（2）由x∈[2，4]时，f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$＞log_a $\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
①当a＞1时，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$对x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，
设g（x）=（x+1）（7-x），x∈[2，4]，
则g（x）=-x²+6x+7=-（x-3）²+16，
g（x）_min=g（2）=g（4）=15，
∴0＜m＜15；
②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，
f（x）=log_a $\frac{x+1}{x-1}$＞log_a $\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$对x∈[2，4]恒成立，
∴m＞（x+1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，
设g（x）=（x+1）（7-x），x∈[2，4]，
由①得：g（x）_max=g（3）=16，∴m＞16，
∴m的取值范围是（0，15）∪（16，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的判定，不等式恒成立问题，函数最值求解，考查运算求解能力．