Question

1．已知f（x）=2ax-$\frac{b}{x}$+lnx在x=1与x=$\frac{1}{2}$处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对x∈[$\frac{1}{4}$，1]时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f′（$\frac{1}{2}$），得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=2ax-\frac{b}{x}+lnx$，
∴$f'（x）=2a+\frac{b}{x^2}+\frac{1}{x}$，
∵$f（x）=2ax-\frac{b}{x}+lnx$在x=1与$x=\frac{1}{2}$处都取得极值，
∴f'（1）=0，$f'（\frac{1}{2}）=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+b+1=0\\ 2a+4b+2=0\end{array}\right.$，
即$a=b=-\frac{1}{3}$--------------（7分）
（2）由（1）可知$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$，
令$f'（x）=-\frac{2}{3}-\frac{1}{{3{x^2}}}+\frac{1}{x}=-\frac{（2x-1）（x-1）}{{3{x^2}}}=0$，
得x=1或$x=\frac{1}{2}$，
∵$x∈[\frac{1}{4}，1]$，
∴f（x）在$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$上单调递减，在$[\frac{1}{2}，1]$上单调递增．-------------（12分）

点评 本题考查了函数的极值的应用，考查导数的应用以及函数的单调性问题，是一道中档题．