在直角坐标系xOy中.已知直线l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$与椭圆C:$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$相交于不同的两点A.B．(Ⅰ)若$α=\frac{π}{3}$.求线段AB中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在直角坐标系xOy中，已知直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）与椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）若$α=\frac{π}{3}$，求线段AB中点M的坐标；
（Ⅱ）若$|{AB}|=\sqrt{3}|{OP}|$，其中为椭圆的右焦点P，求直线l的斜率．

分析（Ⅰ）将椭圆C化为普通方程得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，当$α=\frac{π}{3}$时，设点M对应的参数为t₀，直线l代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得$13{t^2}+4\sqrt{3}t-4=0$，由此能求出点M的坐标．
（Ⅱ）$P（{\sqrt{3}，0}）$，将l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，得$（{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}）{t^2}+（{2\sqrt{3}cosα}）t-1=0$，由此利用弦长公式能求出直线l的斜率．

解答解：（Ⅰ）将椭圆C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$化为普通方程得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
当$α=\frac{π}{3}$时，设点M对应的参数为t₀，
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
代入方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，并整理得$13{t^2}+4\sqrt{3}t-4=0$，
设直线l上的点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，${t_1}+{t_2}=-\frac{{4\sqrt{3}}}{13}$，
则${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=-\frac{{2\sqrt{3}}}{13}$，
∴点M的坐标为$（{\frac{{12\sqrt{3}}}{13}，-\frac{3}{13}}）$．
（Ⅱ）$P（{\sqrt{3}，0}）$，将l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，
得$（{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}）{t^2}+（{2\sqrt{3}cosα}）t-1=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{2\sqrt{3}cosα}}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=-\frac{1}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}α}}$，
∴|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{3}cosα}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}）^{2}+\frac{4}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}}$
=$\frac{4}{{{{cos}^2}α+4{{sin}^2}}}=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}α}}$，
由$|{AB}|=\sqrt{3}|{OP}|$，得$\frac{4}{{1+3{{sin}^2}α}}=3$，
${sin^2}α=\frac{1}{9}$，$sinα=\frac{1}{3}$，$cosα=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴直线l的斜率为$±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．