Question

12．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\sqrt{5}，+∞}）$
• C． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}}）$
• D． $（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）∪（{\sqrt{5}，+∞}）$

Answer 1

分析 根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答 解：由题意过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，
可得：e＞$\sqrt{5}$或1$＜e＜\frac{\sqrt{5}}{2}$
综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞$\sqrt{5}$或1$＜e＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．