Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，M为PC的中点．
（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能证明A，Q，M，D四点共面．
（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由已知得得PO为三棱锥P-ACD的体高，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出点D到平面PAM的距离．

解答 解：（Ⅰ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，
证明如下：
取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四点共面．
（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
取AD中点O，连结OP，OC，AC，可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ACD的体高．
在Rt△POC中，PO=OC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=$\sqrt{6}$，边PC上的高AM=$\sqrt{P{A}^{2}-P{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
所以△PAC的面积S_△PAC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设点D到平面PAC的距离为h，S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$
由V_D-PAC=V_P-ACD得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，解得h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
所以点D到平面PAM的距离为$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查四点共面的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．