题目内容
18．
如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为$\frac{1}{n}$（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数之和，如$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，…，则第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）为$\frac{1}{{n•C_{n-1}^3}}$或$\frac{6}{n（n-1）（n-2）（n-3）}$．
分析 根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）．
解答 解：将杨晖三角形中的每一个数Cnr都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，
就得到莱布尼兹三角形．
∵杨晖三角形中第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）Cn-13，
则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥4）行倒数第四个数（从右往左数）是$\frac{1}{{n•C_{n-1}^3}}$或$\frac{6}{n（n-1）（n-2）（n-3）}$．
故答案为：$\frac{1}{{n•C_{n-1}^3}}$或$\frac{6}{n（n-1）（n-2）（n-3）}$．
点评 本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．
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