Question

10．已知数列{a_n}的前项和为S_n．若a₁=1，a_n=3S_n-1+4（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂$\frac{{a}_{n+2}}{7}$，c_n=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$，其中n∈N₊，记数列{c_n}的前项和为T_n．求T_n+$\frac{n+2}{{2}^{n}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，分别列出式子化简、验证后求出a_n；
（2）由（1）化简和对数的运算法则化简b_n=log₂$\frac{{a}_{n+2}}{7}$，代入c_n=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T_n，即可求出答案．

解答 解：（1）由题意得，a₁=1，a_n=3S_n-1+4（n≥2），
当n=2时，a₂=3S₁+4=7，
当n≥2时，由a_n=3S_n-1+4（n≥2），得a_n+1=3S_n+4，
两式相减得，a_n+1=4a_n（n≥2），
∴数列{a_n}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，
则${a}_{n}={a}_{2}×{4}^{n-2}=7×{4}^{n-2}$（n≥2），此时对n=1不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{7×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得，b_n=log₂$\frac{{a}_{n+2}}{7}$=${log}_{2}^{{4}^{n}}$=2n，
则c_n=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}\$，②
①-②得，$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$，即${T}_{n}+\frac{n+2}{{2}^{n}}=2$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，以及${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的应用，考查了错位相减法求数列的和，化简、变形能力．