Question

8．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B-PADE的体积是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；
（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．

解答 解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；
理由如下：
∵AP、AB、AC两两互相垂直，
∴PA⊥平面ABC，
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DE}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴F与C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE?平面PBE，AC?平面ABC，
∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，
又B是平面PBE和平面ABC的公共点，
∴BC是面PBE与面ABC的交线．
（2）∵AP、AB、AC两两互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，∴V_B-PADE=$\frac{1}{3}$S_梯形ADEP•AB=$\frac{1}{3}$（1+2）×1×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，2），$\overrightarrow{PE}$=（0，1，-1），
设二面角PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小为arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．