Question

7．设f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，求：f（0）+f（1）；f（-1）+f（2）；f（-2）+f（3），由此可以猜想出的一般性结论是若${x_1}+{x_2}=1，则f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式，分别求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论．

解答 解：f（0）+f（1）=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{3-\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
f（-1）+f（2）=$\frac{1}{\frac{1}{3}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{9+\sqrt{3}}$=$\frac{9\sqrt{3}-3}{26}$+$\frac{9-\sqrt{3}}{78}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
f（-2）+f（3）=$\frac{1}{\frac{1}{9}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{27+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
猜想出的一般性结论是若${x_1}+{x_2}=1，则f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：若${x_1}+{x_2}=1，则f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查求函数的值，归纳推理，式子的变形是解题的关键，属于基础题．